Gert Böhme (auth.)'s Algebra PDF

By Gert Böhme (auth.)

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Beispiel Es sei A '" B die Menge der Familienangehorigen. Dann ist die Relation R mit xRy '" '" "x ist Schwester von y" transitiv. Sind x, y, z drei Schwestern, so ist dies klar. Sind x,y Schwestern, zein Bruder derselben, so folgt aus (x,y) ER und (y,z) ER ebenfalls (x, z) E R. In allen anderen Fallen ist die Voraussetzung xRy /\ yRz nicht erfullt. 2 Relationen Definition Eine Relation RcA x B heiBt r e c h t s e i n d e uti g, wenn sie keine zwei Paare mit gleicher erster, aber verschiedener zweiter Koordinate enthiilt R rechtseindeutig:'" /\ /\ /\ [(x,y) ER 1\ (x,z) ER => y=z] xEA yEB zEB 1m Pfeildiagramm geht von jedem Punkt x E A hochstens ein (von jedem x E V R genau ein) Pfeil aus.

Moglichkeit: Ie ,b! la! = le! 1\ la,b! = le,d!. Damit ist a = c und wegen = le, d! auch b = d. 2. Moglichkeit: la! = Ie,d! 1\ la,bj = Ie!. Damit ist a = c = d und a = b = c, d. h. auch a = c und b = d. 16 zeigt eine anschauliche Darstellung von A x B. 2 Relationen 23 diese Mengenverkniipfung sicher nicht kommutativ: -,(AXB=BXA) Bevor man eine Aussage iiber die Assoziativitat von "x" treffen kann, bedarf es einer Erweiterung des Paarbegriffs auf drei geordnete Koordinaten (Tripel). 16 Definition Durch Zuriickfiihrung auf den Paarbegriff erklart man rekursiv fiir das Tripel und allgemein fiir jedes n E IN Ein Tripel ist demnach ein Paar, dessen erste Koordinate selbst ein Paar ist, entspechend ist ein Quadrupel ein Paar, dessen erstes Element ein Tripel ist usw.

Solcherart vereinfachte (und nur fUr Ordnungsrelationen (beider Typen) brauchbare) Pfeildiagramme heiBen Hasse-Diagramme. 36 zeigt das HasseDiagramm, zusammen mit dem ihm gleichwertigen Pfeildiagramm, fUr die Relation "x ist Teiler von y" auf der Menge M = 13, 9, 15, 1351. Diese Relation ist ubrigens nicht linear, da weder 9 Teiler von 15, noch 15 Teiler von 9 ist, welhalb das Diagramm nicht als Kette gezeichnet werden kann. Beispiel Es sei A eine endliche, linear geordnete Menge (ein "Alphabet").

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